Правило деления чисел на 3

Округление чисел

Числа округляют, когда полная точность не нужна или невозможна.

Округлить число до определенной цифры (знака), значит заменить его близким по значению числом с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т.д. Названия цифр в разрядах натурального числа можно вспомнить в теме натуральные числа.

В зависимости от того, до какого разряда надо округлить число, мы заменяем нулями цифру в разрядах единиц, десятков и т.д.

Если число округляется до десятков, то нулями заменяем цифру в разряде единицы.

Если число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять и в разряде единиц, и в разряде десятков.

Число, полученное при округлении, называют приближённым значением данного числа.

Записывают результат округления после специального знака « ≈ ». Этот знак читается как «приближённо равно».

При округлении натурального числа до какого-либо разряда надо воспользоваться правилами округления.

  1. Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.
  2. Отделить все цифры, стоящие справа этого разряда вертикальной чертой.
  3. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4 , то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями. Цифру разряда, до которой округляли, оставляем без изменений.
  4. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9 , то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, прибавляется 1 .

Поясним на примере. Округлим 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.

После подчёркнутой цифры стоит цифра 8 , значит к цифре разряда тысяч (у нас это 7 ) прибавим 1 , а все цифры, отделённые вертикальной чертой заменим нулями.

Теперь округлим 756 485 до сотен.

Округлим 364 до десятков.

3 6 |4 ≈ 360 — в разряде единиц стоит 4 , поэтому мы оставляем 6 в разряде десятков без изменений.

На числовой оси число 364 заключено между двумя «круглыми» числами 360 и 370 . Эти два числа называют приближёнными значениями числа 364 с точностью до десятков.

Число 360 — приближённое значение с недостатком, а число 370 — приближённое значение с избытком.

В нашем случае, округлив 364 до десятков, мы получили, 360 — приближённое значение с недостатком.

Округлённые результаты часто записывают без нулей, добавляя сокращения «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард).

  • 8 659 000 = 8 659 тыс.
  • 3 000 000 = 3 млн.
  • Округление также применяется для прикидочной проверки ответа в вычислениях.

    Пусть нам нужно посчитать:

    До точного вычисления сделаем прикидку ответа, округлив множители до наивысшего разряда.

    794 · 52 ≈ 800 · 50 ≈ 40 000

    Делаем вывод, что ответ будет близок к 40 000 .

    794 · 52 = 41 228

    Аналогично можно выполнять прикидку округлением и при делении чисел.

    math-prosto.ru

    Свойства сложения, умножения, вычитания и деления целых чисел.

    Мы определили сложение, умножение, вычитание и деление целых чисел. Эти действия (операции) обладают рядом характерных результатов, которые называются свойствами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства сложения и умножения целых чисел, из которых следуют все остальные свойства этих действий, а также свойства вычитания и деления целых чисел.

    Навигация по странице.

    Основные свойства сложения целых чисел

    Для начала нужно сказать, что все свойства сложения натуральных чисел справедливы для сложения целых чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел. Перечислим основные свойства сложения.

    Во-первых, сложение целых чисел обладает переместительным свойством. Это свойство заключается в том, что результат сложения двух целых чисел не зависит от порядка следования слагаемых. То есть, для двух целых чисел a и b справедливо равенство a+b=b+a . К примеру, в силу рассмотренного свойства справедливо равенство 3+21=21+3 ; также справедливо равенство (−564)+45=45+(−564) ; сумма целых отрицательных чисел −2 и −6 754 равна сумме (−6 754)+(−2) .

    Во-вторых, сложение целых чисел обладает сочетательным свойством. Сочетательное свойство заключается в том, что результат сложения целого числа с суммой двух целых чисел равен результату сложения суммы двух первых целых чисел с третьим. Это свойство сложения проще усвоить, когда оно записано в буквенном виде: a+(b+c)=(a+b)+c , где a , b , c – произвольные целые числа. Приведем пару примеров. Рассмотренное свойство сложения целых чисел позволяет говорить о справедливости равенства 54+((−17)+(−3 400))=(54+(−17))+(−3 400) ; аналогично сумма вида 10+((−100)+1 000) равна сумме (10+(−100))+1 000 .

    Следует заметить, что значение сочетательного свойства сложения целых чисел состоит еще и в том, что оно позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества целых чисел.

    Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.

    Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число. Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78 ; если к нулю прибавить целое положительное число 999 , то в результате получим число 999 .

    Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю. Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0 , где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.

    Основные свойства умножения целых чисел

    Умножению целых чисел присущи все свойства умножения натуральных чисел. Перечислим основные из этих свойств.

    Умножение целых чисел обладает переместительным свойством. Оно утверждает, что результат умножения двух целых чисел не зависит от порядка следования множителей. То есть, для любых целых чисел a и b справедливо равенство a·b=b·a . Например, произведение целых чисел 56 и −9 равно произведению чисел −9 и 56 ; также справедливо равенство (−678)·(−92)=(−92)·(−678) .

    Для умножения целых чисел характерно сочетательное свойство. В буквенном виде оно записывается так: a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b , c – произвольные целые числа. Приведем пример. В силу переместительного свойства умножения целых чисел можно говорить о справедливости равенства (−12)·(56·90 003)=((−12)·56)·90 003 .

    Сочетательное свойство умножения целых чисел позволяет определить умножение трех и большего количества целых чисел.

    Также как нуль является нейтральным целым числом относительно сложения, единица является нейтральным целым числом относительно умножения целых чисел. То есть, умножение любого целого числа на единицу не изменяет умножаемое число. Так 1·a=a , где a – любое целое число. Последнее равенство можно переписать в виде a·1=a , это нам позволяет сделать переместительное свойство умножения. Приведем два примера. Произведение целого числа 556 на 1 равно 556 ; произведение единицы и целого отрицательного числа −78 равно −78 .

    Следующее свойство умножения целых чисел связано с умножением на нуль. Результат умножения любого целого числа a на нуль равен нулю, то есть, a·0=0 . Также справедливо равенство 0·a=0 в силу переместительного свойства умножения целых чисел. В частном случае при a=0 произведение нуля на нуль равно нулю.

    Для умножения целых чисел также справедливо свойство, обратное к предыдущему. Оно утверждает, что произведение двух целых чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. В буквенном виде это свойство можно записать так: a·b=0 , если либо a=0 , либо b=0 , либо и a и b равны нулю одновременно.

    Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения

    Совместно сложение и умножение целых чисел нам позволяет рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, которое связывает два указанных действия. Использование сложения и умножения совместно открывает дополнительные возможности, которых мы были бы лишены, рассматривая сложение отдельно от умножения.

    Итак, распределительное свойство умножения относительно сложения гласит, что произведение целого числа a на сумму двух целых чисел a и b равно сумме произведений a·b и a·c , то есть, a·(b+c)=a·b+a·c . Это же свойство можно записать в другом виде: (a+b)·c=a·c+b·c .

    Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения вместе с сочетательным свойством сложения позволяют определить умножение целого числа на сумму трех и большего количества целых чисел, а далее – и умножение суммы целых чисел на сумму.

    Также заметим, что все остальные свойства сложения и умножения целых чисел могут быть получены из указанных нами свойств, то есть, они являются следствиями указанных выше свойств.

    Свойства вычитания целых чисел

    Мы знаем, что вычитание целых чисел является действием, обратным к сложению целых чисел. Вычитание – это действие, при котором находится неизвестное слагаемое по известной сумме и известному слагаемому (об этом мы говорили в разделе теории смысл вычитания целых чисел). То есть, целое число c является разностью целых чисел a и b , когда сумма b+c равна a .

    Такое определение разности, а также свойства сложения целых чисел, позволили нам доказать, что разность целых чисел a и b равна сумме числа a и числа −b , противоположного b . То есть, a−b=a+(−b) (доказательство этого равенства приведено в разделе теории правило вычитания целых чисел).

    Из полученного равенства, а также из свойств сложения и умножения целых чисел вытекают следующие свойства вычитания целых чисел ( a , b и c – произвольные целые числа):

    • Вычитание целых чисел в общем случае НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a .
    • Разность равных целых чисел равна нулю: a−a=0 .
    • Свойство вычитания суммы двух целых чисел из данного целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
    • Свойство вычитания целого числа из суммы двух целых чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
    • Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c .
    • И все другие свойства вычитания целых чисел.

    Свойства деления целых чисел

    Рассуждая о смысле деления целых чисел, мы выяснили, что деление целых чисел – это действие, обратное умножению. Мы дали такое определение: деление целых чисел – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному множителю. То есть, целое число c мы называем частным от деления целого числа a на целое число b , когда произведение c·b равно a .

    Данное определение, а также все рассмотренные выше свойства операций над целыми числами позволяют установить справедливость следующих свойств деления целых чисел:

  • Никакое целое число нельзя делить на нуль.
  • Свойство деления нуля на произвольное целое число a , отличное от нуля: 0:a=0 .
  • Свойство деления равных целых чисел: a:a=1 , где a – любое целое число, отличное от нуля.
  • Свойство деления произвольного целого числа a на единицу: a:1=a .
  • В общем случае деление целых чисел НЕ обладает переместительным свойством: a:b≠b:a .
  • Свойства деления суммы и разности двух целых чисел на целое число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c , где a , b , и c такие целые числа, что и a и b делится на c , и c отлично от нуля.
  • Свойство деления произведения двух целых чисел a и b на целое число c , отличное от нуля: (a·b):c=(a:c)·b , если a делится на c ; (a·b):c=a·(b:c) , если b делится на c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , если и a и b делятся на c .
  • Свойство деления целого числа a на произведение двух целых чисел b и c (числа a , b и c такие, что деление a на b·c возможно): a:(b·c)=(a:b)·c=(a:c)·b .
  • Любые другие свойства деления целых чисел.
  • cleverstudents.ru

    Правило деления чисел на 3

    ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЕЛ.

    Извлечение из данного целого числа наибольшего целого квадратного корня.

    170. Предварительные замечания.

    а) Так как мы будем говорить об извлечении только квадратного корня, то для сокращения речи в этой главе мы вместо „квадратный» корень будем говорить просто „корень».

    б) Если возвысим в квадрат числа натурального ряда: 1,2,3,4,5 . . . , то получим такую таблицу квадратов: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

    Очевидно, имеется очень многo целых чисел, которые в этой таблице не находятся; из таких чисел, конечно, нельзя извлечь целый корень. Поэтому, если требуется извлечь корень из какого-нибудь целого числа, напр. требуется найти √ 4082 , то мы условимся это требование понимать так: извлечь целый корень из 4082, если это возможно; если же нельзя, то мы должны найти наибольшее целое число, квадрат которого заключается в 4082 (такое число есть 63, так как 63 2 = 39б9, а 64 2 = 4090).

    в) Если данное число меньше 100, то корень из него находится по таблице умножения; так, √ 60 будет 7, так как семью 7 равно 49, что меньше 60, а восемью 8 составляет 64, что больше 60.

    171. Извлечение корня из числа, меньшего 10000, но большего 100. Пусть надо найти √ 4082 . Так как это число меньше 10 000, то корень из него меньше √ l0 000 = 100. С другой стороны, данное число больше 100; значит, корень из него больше (или равен 10) . (Если бы, напр., требовалось найти √ 120 , то хотя число 120 > 100, однако √ 120 равен 10, т.к. 11 2 = 121.) Но всякое число, которое больше 10, но меньше 100, имеет 2 цифры; значит, искомый корень есть сумма:

    и поэтому квадрат его должен равняться сумме:

    (дес.) 2 + 2 •(дес.) • (ед.) + (ед.) 2 .

    Сумма эта должна быть наибольшим квадратом, заключающимся в 4082.

    Так как (десятки) 2 составляют сотни, то квадрат десятков надо искать в сотнях данного числа. Сотен в данном числе 40 (мы находим их число, отделив запятой две цифры справа). Но в 40 заключается несколько целых квадратов: 36,25,16. и др.

    Возьмем из них наибольший, 36, и допустим,что квадрат десятков корня будет равен именно этому наибольшему квадрату. Тогда число десятков в корне должно быть 6. Проверим теперь, что это всегда должно быть так, т. е. всегда число десятков корня равно наибольшему целому корню из числа сотен подкоренного числа.

    Действительно, в нашем примере число десятков корня не может быть больше 6, так как (7 дес.) 2 = 49 сотен, что превосходит 4082. Но оно не может быть и меньше 6, так как 5 дес. (с единицами) меньше 6 дес, а между тем (6 дес.) 2 = 36 сотен, что меньше 4082. А так как мы ищем наибольший целый корень, то мы не должны брать для корня 5 дес, когда и 6 десятков оказывается не много.

    Итак, мы нашли число десятков корня, именно 6. Пишем эту цифру направо от знака =, запомнив, что она означает десятки корня. Возвысив ее в квадрат, получим 36 сотен. Вычитаем эти 36 сотен из 40 сотен подкоренного числа и сносим две остальные цифры данного числа. В остатке 482 должны содержаться 2 • (6 дес.) • (ед.) + (ед.)2. Произведение (6 дес.) • (ед.) должно составлять десятки; поэтому удвоенное произведение десятков на единицы надо искать в десятках остатка, т. е. в 48 (мы получим число их, отделив в остатке 48’2 одну цифру справа). Удвоенные десятки корня составляют 12. Значит, если 12 умножим на единицы корня (которые пока неизвестны), то мы должны получить число, содержащееся в 48. Поэтому мы разделим 48 на 12.

    Для этого налево от остатка проводим вертикальную черту и за нею (отступив от черты на одно место влево для цели, которая сейчас обнаружится) напишем удвоенную первую цифру корня, т. е. 12, и на нее разделим 48. В частном получим 4.

    Однако, заранее нельзя ручаться, что цифру 4 можно принять за единицы корня, так как мы сейчас разделили на 12 все число десятков остатка, тогда как некоторая часть из них может и не принадлежать удвоенному произведению десятков на единицы, а входит в состав квадрата единиц. Поэтому цифра 4 может оказаться велика. Надо ее испытать . Она, очевидно, годится в том случае, если сумма 2 • (6 дес.) • 4 + 4 2 окажется не больше остатка 482.

    Сумму это мы можем вычислить сразу таким простым приемом: за вертикальной чертой к удвоенной цифре корня (к 12) приписываем справа цифру 4 (поэтому-то мы и отступили от черты на одно место) и на нее же умножим полученное число (124 на 4).Действительно, производя это умножение, мы умножаем 4 на 4, значит, находим квадрат единиц корня; затем мы умножаем 12 десятков на 4, значит находим удвоенное произведение десятков корня на единицы.

    В результате получаем сразу сумму того и другого. Полученное произведение оказалось 496, что больше остатка 482; значит, цифра 4 велика. Тогда испытаем таким же образом следующую меньшую цифру 3.

    Для этого сотрем цифру 4 и произведение 496 и вместо цифры 4 поставим 3 и умножим 123 на 3. Произведение 369 оказалось меньше остатка 492; значит, цифра 3 годится (если бы случилось, что и эта цифра велика, тогда надо было бы испытать следующую меньшую цифру 2). Пишем цифру 3 в корне направо от цифры десятков.Последний остаток 113 показывает избыток данного числа над наибольшим целым квадратом, заключающимся в нем.

    Для поверки мы возвысили в квадрат 63 и к результату приложили 113; так как в сумме получилось данное число 4082, то действие сделано верно.

    В примере 4-м при делении 47 десятков остатка на 4, мы получаем в частном 11. Но так как цифра единиц корня не может быть двузначным числом 11 или 10, то надо прямо испытать цифру 9.

    В примере 5-м после вычитания из первой грани квадрата 8 остаток оказывается 0, и следующая грань тоже состоит из нулей. Это показывает, что искомый корень состоит только из 8 десятков, и потому на место единиц надо поставить нуль.

    172. Извлечение корня из числа, большего 10000. Пусть требуется найти √ 35782 . Так как подкоренное число превосходит 10 000, то корень из него больше √ 10000 = 100 и, следовательно, он состоит из 3 цифр или более. Из скольких бы цифр он ни состоял, мы можем его всегда рассматривать как сумму только десятков и единиц. Если, напр., корень оказался бы 482, то мы можем его считать за сумму 48 дес. + 2 ед. Тогда квадрат корня будет состоять из 3 слагаемых:

    (дес.) 2 + 2 • (дес.) (ед.) + (ед.) 2 .

    Теперь мы можем рассуждать совершенно так же, как и при нахождении √ 4082 (в предыдущем параграфе). Разница будет только та, что для нахождения десятков корня из 4082 мы должны были извлечь корень из 40, и это можно было сделать по таблице умножения; теперь же для получения десятков√ 35782 нам придется извлечь корень из 357, что по таблице умножения нельзя выполнить. Но мы можем найти√ 357 тем приемом, который был описан в предыдущем параграфе, так как число 357 4 /5 , 8 /9 и 11 /15 нельзя извлечь точный корень, так как в первой дроби нельзя его извлечь из знаменателя, во второй — из числителя и в третьей — ни из числителя, ни из знаменателя.

    Из таких чисел, из которых нельзя извлечь точный корень, можно извлекать лишь приближенные корни.

    175. Приближенный корень с точностью до 1. Приближенным квадратным корнем с точностью до 1 из данного числа (целого или дробного — все равно) называется такое целое число, которое удовлетворяет следующим двум требованиям:

    1) квадрат этого числа не больше данного числа; 2) но квадрат этого числа увеличенного на 1, больше данного числа. Другими словами, приближенным квадратным корнем с точностью до 1 называется наибольший целый квадратный корень из данного числа, т. е.тот корень, который мы научились находить в предыдущей главе. Корень этот называется приближенным с точностью до 1, потому что для получения точного корня к этому приближенному корню надо было бы добавить еще некоторую дробь, меньшую 1, так что если вместо неизвестного точного корня мы возьмем этот приближенный, то сделаем ошибку, меньшую 1.

    Положим, требуется найти приближенный квадратный корень с точностью до 1 из 395,74. Тогда, не обращая внимания на дробь, извлечем корень только из целого числа. Полученный корень 19 будет искомый, так как

    Правило. Чтобы извлечь приближенный квадратный корень с точностью до 1, надо извлечь наибольший целый корень из целой части данного числа.

    Найденное по этому правилу число есть приближенный корень с недостатком , так как в нем недостает до точного корня некоторой дроби (меньшей 1). Если этот корень увеличим на 1, то получим другое число, в котором есть некоторый избыток над точным корнем, и избыток этот меньше 1. Этот увеличенный на 1 корень можно назвать тоже приближенным корнем с точностью до 1, но с избытком. (Названия: „с недостатком» или „с избытком» в некоторых математических книгах заменены другими равносильными: „по недостатку» или „по избытку».)

    176. Приближенный корень с точностью до 1 /10. Пусть требуется найти √ 2,35104 с точностью до 1 /10 . Это значит, что требуется найти такую десятичную дробь, которая состояла бы из целых единиц и десятых долей и которая удовлетворяла бы двум следующим требованиям:

    1) квадрат этой дроби не превосходит 2,35104, но 2) если увеличим ее на 1 /10 , то квадрат этой увеличенной дроби превосходит 2,35104.

    Чтобы найти такую дробь, мы сначала нaйдем приближенный корень с точностью до 1, т. е. извлечем корень только из целого числа 2. Получим 1 (и в остатке 1). Пишем в корне цифру1 и ставим после нее запятую. Теперь будем искать цифру десятых. Для этого сносим к остатку 1 цифры 35, стоящие направо от запятой, и продолжаем извлечениетак, как будто мы извлекали корень из целого числа 235. Полученную цифру 5 пишем в корне на месте десятых. Остальные цифры подкоренного числа (104) нам не нужны. Что полученное число 1,5 будет действительно приближенный корень с точностью до 1 /10 видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый корень из 235 с точностью до 1, то получили бы 15. Значит:

    Разделив все эти числа на 100, получим:

    Значит, число 1,5 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближенным корнем с точностью до 1 /10.

    Найдем еще этим приемом следующие приближенные корни с точностью до 0,1:

    177. Приближенный квадратный корень с точностью до 1 /100 до 1 /1000 и т. д.

    Пусть требуется найти с точностью до 1 /100 приближенный √ 248 . Это значит: найти такую десятичную дробь, которая состояла бы из целых, десятых и сотых долей и которая удовлетворяла бы двум требованиям:

    1) квадрат ее не превосходит 248, но 2) если увеличим эту дробь на 1 /100 то квадрат этой увеличенной дроби превосходит 248.

    Такую дробь мы найдем в такой последовательности: сначала отыщем целое число, потом цифру десятых, затем и цифру сотых. Корень из целого числа будет 15 целых. Чтобы получить цифру десятых, надо как мы видели, снести к остатку 23 еще 2 цифры, стоящие направо от запятой. В нашем примере этих цифр нет вовсе, ставим на их место нули. Приписав их к остатку и продолжая действие так, как будто находим корень из целого числа 24 800, мы найдем цифру десятых 7. Остается найти цифру сотых. Для этого приписываем к остатку 151 еще 2 нуля и продолжаем извлечение, как будто мы находим корень из целого числа 2 480 000. Получаем 15,74. Что это число действительно есть приближенный корень из 248 с точностью до 1 /100 видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый квадратный корень из целого числа 2 480 000, то получили бы 1574; значит:

    1574 2 2 > 2 480 000.

    Разделив все числа на 10 000 ( = 100 2 ), получим:

    Значит, 15,74 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближенным корнем с точностью до 1 /100 из 248.

    Применяя этот прием к нахождению приближенного корня с точностью до 1 /1000 до 1 /10000 и т. д. найдем следующее.

    Правило. Чтобы извлечь из данного целою числа или из данной десятичной дроби приближенный корень с точностью до 1 /10 до 1 /100 до 1 /100 и т. д., находят сначала приближенный корень с точностью до 1, извлекая корень из целого числа (если его нет, пишут о корне 0 целых).

    Потом находят цифру десятых. Для этого к остатку сносят ,2 цифры подкоренного числа, стоящие направо от запятой (если их нет, приписывают к остатку два нуля), и продолжают извлечение так, как это делается при извлечении корня из целого числа. Полученную цифру пишут в корне на месте десятых.

    Затем находят цифру сотых. Для этого к остатку сносят снова две цифры, стоящие направо от тех, которые были только что снесены, и т. д.

    Таким образом, при извлечении корня из целого числа с десятичной дробью, надо делить на грани по 2 цифры в каждой, начиная от запятой, как влево (в целой части числа), так и вправо, (в дробной части).

    1) Найти до 1 /100 корни: а) √ 2 ; б) √ 0,3 ;

    В последнем примере мы обратили дробь 3 /7 в десятичную, вычислив 8 десятичных знаков, чтобы образовались 4 грани, потребные для нахождения 4 десятичных знаков корня.

    178. Описание таблицы квадратных корней. В конце этой книги приложена таблица квадратных корней, вычисленных с четырьмя цифрами. По этой таблице можно быстро находить квадратный корень из целого числа (или десятичной дроби), которое выражено не более, чем четырьмя цифрами. Прежде чем объяснить, как эта таблица устроена, заметим, что первую значащую цифру искомого корня мы всегда можем найти без помощи таблиц по одному взгляду на подкоренное число; мы легко также определим, какой десятичный разряд означает первая цифра корня и, следовательно, где в корне, когда найдем его цифры, надо поставить запятую. Приведем несколько примеров:

    1) √ 5’27,3 . Первая цифра будет 2, так как левая грань подкоренного числа есть 5; а корень из 5 равен 2. Кроме того, так как в целой части подкоренного числа всех граней только 2, то в целой части искомого корня должно быть 2 цифры и, следовательно, первая его цифра 2 должна означать десятки.

    2) √ 9,041 . Очевидно, в этом корне первая цифра будет 3 простые единицы .

    3) √ 0,00’83’4 . Первая значащая цифра есть 9, так как грань, из которой пришлось бы извлекать корень для получения первой значащей цифры, есть 83, а корень из 83 равен 9. Так как в искомом числе не будет ни целых, ни десятых, то первая цифра 9 должна означать сотые.

    4) √ 0,73’85 . Первая значащая цифра есть 8 десятых .

    5) √ 0,00’00’35’7 . Первая значащая цифра будет 5 тысячных .

    Сделаем еще одно замечание. Положим, что требуется извлечь корень из такого числа, которое, после отбрасывания в нем занятой, изображается рядом таких цифр: 5681. Корень этот может быть один из слелуюших:

    Если возьмем корни, подчеркнутые нами одной чертою, то все они будут выражены одним и тем же рядом цифр, именно теми цифрами, которые получаются при извлечении корня из 5681 (это будут цифры 7, 5, 3, 7). Причина этому та, что грани, на которые приходится разбивать подкоренное число при нахождении цифр корня, будут во всех этих примерах одни и те же, поэтому и цифры для каждого корня окажутся одинаковые (только положение запятой будет, конечно, различное). Точно так же во всех корнях, подчеркнутых нами двумя чертами, должны получиться одинаковые цифры, именно те, которыми выражается √ 568,1 (эти цифры будут 2, 3, 8, 3), и по той же причине. Таким образом, цифры корней из чисел, изображаемых (по отбрасывании запятой) одним и тем же рядом цифр 5681, будут двоякого (и только двоякого) рода: либо это ряд 7, 5, 3, 7, либо ряд 2, 3, 8, 3. То же самое, очевидно, может быть сказано о всяком другом ряде цифр. Поэтому, как мы сейчас увидим, в таблице каждому ряду цифр подкоренного числа соответствуют 2 ряда цифр для корней.

    Теперь мы можем объяснить устройство таблицы и способ ее пользования. Для ясности объяснения мы изобразили здесь начало первой страницы таблицы.

    Таблица эта расположена на нескольких страницах. На каждой из них в первой слева колонке помещены числа 10, 11, 12. (до 99). Эти числа выражают первые 2 цифры числа, из которого ищется квадратный корень. В верхней горизонтальной строчке (а также и в нижней) размещены числа: 0, 1, 2, 3. 9, представляющие собою 3-ю цифру данного числа, а затем далее направо помещены цифры 1, 2, 3 . . . 9, представляющие собою4-ю цифру данного числа. Во всех других горизонтальных строчках помещены по 2 четырехзначных числа, выражающие квадратные корни из соответствующих чисел.

    Пусть требуется найти квадратный корень из какого-нибудь числа, целого или выраженного десятичною дробью. Прежде всего находим без помощи таблиц первую цифру корня и ее разряд. Затем отбросим в данном числе запятую, если она есть. Положим сначала, что после отбрасывания запятой останутся только 3 цифры, напр. 114. Находим в таблицах в левой крайней колонке первые 2 цифры, т. е. 11, и продвигаемся от них направо по горизонтальной строке до тех пор, пока не дойдем до вертикальной колонки, наверху (и внизу) которой стоит 3-я цифра числа, т. е. 4. В этом месте мы находим два четырехзначных числа: 1068 и 3376. Которое из этих двух чисел надо взять и где поставить в нем запятую, это определяется первою цифрою корня и ее разрядом, которые мы нашли раньше. Так, если надо найти √ 0,11’4 , то первая цифра корня есть 3 десятых, и потому мы должны взять для корня 0,3376. Если бы требовалось найти √ 1,14 , то первая цифра корня была бы 1, и мы взяли бы тогда 1,068.

    Таким образом мы легко найдем:

    √ 5,30 = 2,302; √ 7’18 = 26,80; √ 0,91’6 = 0,9571 и т.п.

    Положим теперь, что требуется найти корень из числа, выраженного (по отбрасывании запятой) 4 цифрами, напр.√ 7’45,6 . Заметив, что первая цифра корня есть 2 десятка, находим для числа 745 так, как сейчас было объяснено, цифры 2729 (это число только замечаем пальцем, но его не записываем). Потом продвигаемся от этого числа еще направо до тех пор, пока в правой части таблицы (за последнею жирною чертою) не встретим ту вертикальную колонку, которая отмечена наверху (и внизу) 4-й цифрой данного числа, т. е. цифрой 6, и находим там число 1. Это будет поправка, которую надо приложить (в уме) к ранее найденному числу 2729; получим 2730. Это число записываем и ставим в нем запятую на надлежащем месте: 27,30.

    Таким путем найдем, напр:

    √ 44,37 = 6,661; √ 4,437 = 2,107; √ 0,04’437 =0,2107 и т.д.

    Если подкоренное число выражается только одной или двумя цифрами, то мы можем предположить, что после этих цифр стоит один или два нуля, и затем поступать так, как было объяснено для трехзначного числа. Напр.√ 2,7 =√ 2,70 =1,643; √ 0,13 = √ 0,13’0 = 0,3606 и т.п..

    Наконец, если подкоренное число выражено более, чем 4 цифрами, то из них мы возьмем только первые 4, а остальные отбросим, причем для уменьшения ошибки, если первая из отбрасцваемых цифр есть 5 или более 5, то мы увеличим на l четвертую из удержанных цифр. Так:

    √ 357,8| 3 | = 18,91; √ 0,49’35|7 | = 0,7025; и т.п.

    Замечание. В таблицах указан приближенный квадратный корень иногда с недостатком, иногда же с избытком, а именно тот из этих приближенных корней, который ближе подходит к точному корню.

    179. Извлечение квадратных корней из обыкновенных дробей. Точный квадратный корень из несократимой дроби можно извлечь лишь тогда, когда оба члена дроби точные квадраты (§ 174). В этом случае достаточно извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно, напр.:

    Приближенный квадратный корень из обыкновенной дроби c какою-нибудь десятичною точностью проще всего можно находить, если предварительно обратим обыкновенную дробь в десятичную, вычислив в этой дроби такое число десятичных знаков после запятой, которое было бы вдвое больше числа десятичных знаков в искомом корне.

    Пусть, напр., надо найти √ 2 3 / 7 c точностью до 0,01, т. е. с 2 десятичными знаками после запятой. Для этого обратим 2 3 /7 в десятичную дробь c 4 десятичными знаками:
    28 /7 = 2,4285. и извлечем приближенный корень из 2,4285 c точностью до 0,01.

    Впрочем можно поступать и иначе. Объясним это на следующем примере:

    Найти приближенный √ 5 /24

    Сделаем знаменатель точным квадратом. Для этого достаточно было бы умножить оба члена дроби на знаменатель 24; но в этом примере можно поступить иначе. Разложим 24 на простые множители: 24 = 2 • 2 • 2 • 3. Из этого разложения видно, что если 24 умножить на 2 и еще на 3, то тогда в произведении каждый простой множитель будет повторяться четное число раз, и, следовательно, знаменатель сделается квадратом:

    Остается вычислить √ 30 с какой-нибудь точностью и результат разделить на 12. При этом надо иметь в виду, что от деления на 12 уменьшится и дробь, показывающая степень точности. Так, если найдем √ 30 с точностью до 1 /10 и результат разделим на 12, то получим приближенный корень из дроби 5 /24 с точностью до 1 /120 (а именно 54 /120 и 55 /120)

    180. Обратная функция. Пусть дано какое-нибудь уравнение, определяющее у как функцию от х, напр, такое: у = х 2 . Мы можем сказать, что оно определяет не только у как функцию от х, но и, обратно, определяет х как функцию от у, хотя и неявным образом. Чтобы сделать эту функцию явной, надо решить данное уравнение относительно х, принимая у за известное число; так, из взятого нами уравнения находим: у = х 2 .

    Алгебраическое выражение, полученное для x после решения уравнения, определяющего у как функцию от x, называется функцией, обратной той, которая определяет у.

    Значит, функция , х = √ y обратна функции у = х 2 . Если, как это принято, независимое переменное обозначим х, а зависимое у, то полученную сейчас обратную функцию можем выразить так: y = √ x . Таким образом, чтобы получить функцию, обратную данной (прямой), надо из уравнения, определяющего эту данную функцию, вывести х в зависимости от y и в полученном выражении заменить y на x, а х на y.

    181. График функции y = √ x . Функция эта невозможна при отрицательном значении х, но ее возможно вычислить (с любою точностью) при всяком положительном значении x, причем для каждого такого значения функция получает два различных значения с одинаковой абсолютной величиной, но с противоположными знаками. Если знаком будем обозначать только арифметическое значение квадратного корня, то эти два значения функции можем выразить так: y = ± √ x Для построения графика этой функции надо предварительно составить таблицу ее значений. Всего проще эту таблицу составить из таблицы значений прямой функции:

    oldskola1.narod.ru

    Это интересно:

    • Таганрог опека и попечительство Сотрудники отдела опеки и попечительства в отношении несовершеннолетних Управления образования г. Таганрога Хачатрян Галина Нориковна (каб. № 16) - ведущий специалист (микрорайон школ № 21, 24, 25/11, 26, 34, 32, […]
    • Состарю документ для экспертизы Медико-социальная экспертиза Войти через uID Перечень документов для прохождения МСЭ Перечень документов для прохождения МСЭ Для определения группы инвалидности (категории «ребенок-инвалид»): 1. Заявление […]
    • Время работы арбитражных судов Арбитражный суд Краснодарского края Внимание участников процесса Поздравление председателя Арбитражного суда Краснодарского края с Днем России Справочная информация: Канцелярия суда: Маршруты и виды транспорта: […]
    • Минимальная пенсия по ростовской обл Глава I. Общие положения Статья 1 признана утратившей силу согласно Федеральному закону от 6 марта 2006 г. № 35-ФЗ. Статья 1 . Правовые основы борьбы с терроризмом Правовую основу борьбы с терроризмом составляют […]
    • Коллектор двигателя змз 406 Коллектор двигателя змз 406 Двигатели, автоматические трансмиссии и АКПП для легковых и малых грузовых автомобилей. Устройство, запасные части и составляющие компоненты. Рабочие характеристики и параметры двигателя […]
    • Коллектор анти Коллектор 3.0.3.34 Коллектор - ПК «Коллектор» - это планирование и учет работ с должниками. Она связывает должников, кредиторов и организации, осуществляющие сбор задолженности. Гибкая система фильтров позволяет вести […]